纯函数相关综合（7）（2019版）——压轴系列[尖子生之路]

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纯函数相关综合（7）（2019版）

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【试题】已知抛物线y=ax²+(3b+1)x+b-3(a>0)，若存在实数m，使得点P（m，m）在该抛物线上，我们称点P（m，m）是这个抛物线上的一个“和谐点”．

（1）当a=2，b=1时，求该抛物线的“和谐点”；

（2）若对于任意实数b，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A，B．

①求实数a的取值范围；

②若点A，B关于直线y=-x-(1/a²+1)对称，求实数b的最小值．

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【图文解析】

（1）当a=2，b=1时，抛物线为y=2x²+4x-2．直接根据“和谐点”的定义求解．

若点P（m，m）在该抛物线上，则有2m²+mx-2=m．解得m₁=-2，m₂=-0.5．所以该抛物线的“和谐点”为(-2，-2)和（-0.5，-0.5）．

另解：因点P（m，m）在直线y=x上，所以“和谐点”即为直线y=x与抛物线的交点．

（2）①由于“对于任意实数b，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A，B”，因此抛物线y=ax²+(3b+1)x+b-3(a>0)与直线y=x恒有两个交点，即方程ax²+(3b+1)x+b-3＝x(a>0)恒有两个实数根，其中方程可化为ax²+3bx+b-3＝0(a>0)，所以对任意实数b，△＝(3b)²-4a(b-3)=9b²-4ab+12a>0恒成立．

设y=9b²-4ab+12a(a>0)是关于b的函数，则该函数图象恒在x轴上方．

该抛物线的对称轴为直线b=9/(8a)．如下图示．

由图象知：抛物线与b轴没有交点，所以（-4a）²-4×9×12a<0．即a(a-27)<0，又因a>0，所以0＜a<27．

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②不妨设点A（x_1，x₁）在点B（x_2，x₂）的左边，由点A，B关于直线y=-x-(1/a²+1)对称，因此线段AB的中点必在该直线上．如下图示（仅为解题用的草图）．

法二：去分母，整理，得a²-3ba+1=0，且因a>0，所以b>0．由△＝（-3b）²‑4×1×1＝9b²-4=(3b+2)(3b-2)≥0，且因b>0，得3b+2>0．所以3b-2≥0，得b≥2/3．

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